Definizione
15
[155] Sia \(A⊆ ℝ\) e \(f:A→ℝ\) una funzione; \(f\) è detta uniformemente continua se
\[ ∀ \varepsilon {\gt}0,~ ∃ 𝛿 {\gt} 0 , ~ ∀ x,y∈ A,~ |x-y|{\lt}𝛿 ⟹ |f(x)-f(y)|{\lt}\varepsilon ~ ~ . \]
Più in generale, dati \((X_ 1,d_ 1)\) e \((X_ 2,d_ 2)\) spazi metrici, data una funzione \(f:X_ 1→ X_ 2\), \(f\) è detta uniformemente continua se
\[ ∀ \varepsilon {\gt}0,~ ∃ 𝛿 {\gt} 0 , ~ ∀ x,y∈ X_ 1,~ d_ 1(x,y){\lt}𝛿 ⟹ d_ 2(f(x),f(y)){\lt}\varepsilon ~ ~ . \]