EDB — 20Q

[20Q]

• Supponiamo di avere una funzione \(f:A→ C\); diremo che questa è invariante (o anche “compatibile con \(∼\)”) se

  \begin{equation} ∀ x,y∈ A, \quad x∼ y⇒ f(x)=f(y)\quad .\label{eq:simRRR} \end{equation}

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  Questo comporta che \(f\) è costante su ogni classe di equivalenza; dunque \(f\) passa al quoziente, cioè è ben definita una funzione \(\widetilde f:\frac A∼→ B\) tale che \(\widetilde f([x]) = f(x)\) per ogni \(x∈ A\); cioè \(\widetilde f◦ 𝜋≡ f\).

  (Vedere il PDF per la figura)

• Similmente ci comportiamo se \(f\) è una funzione a più argomenti \(f:A_ 1× A_ 2× \ldots A_ n→ C\), e su uno o più di questi insiemi \(A_ 1\) sono presenti relazioni di equivalenza: in questo caso possiamo far passare ai quozienti le variabili associate. Ad esempio nel caso che vi sia una relazione di equivalenza \(∼\) su \(A_ 1\), richiederemo che

  \[ ∀ x,y∈ A_ 1,∀ a_ 2∈ A_ 2\ldots ∀ a_ n∈ A_ n\ldots \quad x∼ y⇒ f(x,a_ 2,\ldots a_ n)=f(y,a_ 2,\ldots a_ n) \]

  e allora potremo passare al quoziente e definire la funzione \(\widetilde f:{\frac{A_ 1}∼ }× A_ 2× \ldots A_ n→ C\) in modo che

  \[ \widetilde f(𝜋(x),a_ 2,\ldots a_ n)=f(x,a_ 2,\ldots a_ n)\quad . \]

• Un simile ragionamento può essere fatto per le relazioni \(R∈ A× B\); formalmente possiamo ricondurci al caso precedente pensando a \(R\) come a una funzione che ha dominio \(A× B\) e codominio l’insieme \(\{ ``\mathrm{vero}'' , ``\mathrm{falso}''\} \); per essere più espliciti, diremo che \(R\) è invariante rispetto alla relazione \(∼\) su \(A\) se

  \[ ∀ x,y∈ A,∀ b∈ B \quad x∼ y⇒ ( xRb ⇔ yRb)\quad ; \]

  e in questo caso possiamo definire la relazione \(\widetilde R\) “proiettata al quoziente” fra \(\frac A∼\) e \(B\).

• In certi casi invece una funzione passa al quoziente contemporaneamente al dominio e al codominio; vediamo il caso di una funzione di due argomenti, che sarà usato in seguito. Supponiamo di avere una funzione \(f:A× A→ A\); diremo che questa è invariante se
       (Vedere il PDF per la figura)

  \begin{equation} ∀ x,\tilde x,y,\tilde y∈ A, \quad (x∼ \tilde x ∧ y∼\tilde y)⇒ f(x,y)∼ f(\tilde x,\tilde y)\quad ;\label{eq:sim-AA-A} \end{equation}

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  allora \(f\) passa al quoziente, cioè è ben definita una funzione

  \[ \widetilde f: \frac{A}∼ × \frac{A}∼ → \frac{A}∼ \]

  tale che

  \[ ∀ x,y∈ A\quad \widetilde f([x],[y]) = [f(x,y)]\quad . \]