18.1 Somma e prodotto, composizione e inversa[2D6]

E405

[1KQ]Prerequisiti:2.Consideriamo le serie di potenze

$$f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n,g(x)={\sum }_{m=0}^{\infty }{b}_m{x}^m,$$

con raggio di convergenza non nullo, rispettivamente $r_f$ e $r_g$.

Si mostri che la funzione prodotto $h(x)=f(x)g(x)$ si può esprimere in serie di potenze

$$h(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_k{x}^k$$

dove

$$c_k={\sum }_{j=0}^k{a}_j{b}_{k-j};$$

con raggio di convergenza $r_h\ge min\{r_f,r_g\}$. (Si noti la somiglianza con il prodotto di Cauchy, discusso in sezione ??)

Può succedere che $r_h>min\{r_f,r_g\}$?

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1KR’]

E405

[1KS]Prerequisiti:1.Difficoltà:*.Sia $g(z)={\sum }_{m=0}^{\infty }{b}_m{z}^m$ con $b_0=g(0)\ne 0$: si esprima formalmente la funzione reciproca $f(x)=1/g(x)$ come serie di potenze e si calcolino i coefficenti a partire dai coefficienti $b_m$; se il raggio di convergenza di $g$ è non nullo si mostri che il raggio di convergenza di $f$ è non nullo e che $f(x)=1/g(x)$ laddove le due serie $f(x),g(x)$ convergono. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1KT’]

E405

[1KV]Prerequisiti:2,3.Difficoltà:*.

Consideriamo le serie di potenze

$$f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n,g(x)={\sum }_{m=0}^{\infty }{b}_m{x}^m,$$

con raggio di convergenza non nullo, rispettivamente $r_f$ e $r_g$. Supponiamo che $g(0)=0=b_0$. Siano $I_f,I_g\subset ℂ$ dischi centrati in zero con raggi minori rispettivamente di $r_f$ e $r_g$: le precedente serie dunque definiscono funzioni $f:I_f\to ℂ$ e $g:I_g\to ℂ$. A meno di rimpicciolire $I_g$, assumiamo che $g(I_g)\subset I_f$.

Si mostri che la funzione composta $h=f◦g:I_g\to ℂ$ si può esprimere come serie di potenze $h(x)={\sum }_{k=0}^{\infty }{c}_k{x}^k$ (con raggio di convergenza almeno $r_g$); si mostri come i coefficienti $c_k$ possono essere calcolati dai coefficienti $a_k,b_k$. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1KW’][UNACCESSIBLE UUID ’1KX’][UNACCESSIBLE UUID ’1KY’]

E405

[1KZ] Difficoltà:*.Sia $g(z)={\sum }_{m=0}^{\infty }{b}_m{z}^m$ con raggio di convergenza non nullo $r_g$. Sia $I_g\subset ℂ$ un disco centrato in zero di raggio minore di $r_g$; abbiamo dunque definito una funzione $g:I_g\to ℂ$. assumiamo $g(0)=0$ e $g^{\prime }(0)\ne 0$; Assumendo che l’inversa $f(y)=g^{-1}(y)$ si possa esprimere in serie di Taylor $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$, calcolate i coefficienti della serie di $f$ partendo da quelli di $g$.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1M0’]

E405

[1M1] Prerequisiti:4.Difficoltà:**.

Definendo $f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ dove i coefficienti $a_n$ sono stati ricavati nel precedente esercizio 4, si provi a mostrare che il raggio di convergenza $f$ è positivo. ¹

[UNACCESSIBLE UUID ’1M2’]