17.1 Derivate successive[2D1]

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[1DD]Sia \(I\) un intervallo aperto e \(x_ 0∈ I\), sia \(f:I→ℝ\) derivabile in \(I\) e tale che esista la derivata seconda \(f''\) in \(x_ 0\): allora si mostri che esiste il limite

\[ \lim _{t→ 0}\frac{f(x_ 0+t)+f(x_ 0-t)-2f(x_ 0)}{t^ 2} \]

e che coincide con \(f''(x_ 0)\).

Si trovi poi un semplice esempio di \(f\) derivabile in \((-1,1)\) e tale che non esista la derivata seconda \(f''\) in \(x_ 0=0\), ma esista il precedente limite.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1DF’]

E378

[1DG]5 Sia \(n≥ 1\) intero. Sia \(I\) un intervallo aperto e \(x_ o0 I\), siano \(f,g:I→ℝ\) funzioni derivabili \(n-1\) volte nell’intervallo e la cui derivata \((n-1)\)-esima è derivabile in \(x_ 0\).

Si mostri allora che il prodotto \(fg\) è derivabile \(n-1\) volte nell’intervallo e la sua derivata \((n-1)\)-esima è derivabile in \(x_ 0\). Si scriva una formula esplicita per la derivata n-esima \((fg)^{(n)}\) in \(x_ 0\) del prodotto delle due funzioni, (formula che impieghi le derivate della sola \(f\) e della sola \(g\)).

(Se non la trovate, guardate in Wikipedia la Regola di Leibniz [ 63 ] ) .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1DH’]

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[1DJ] Difficoltà:*.Sia \(n≥ 1\) intero. Siano \(I,J\) intervalli aperti con \(x_ 0∈ I,y_ 0∈ J\). Siano poi date \(g:I→ℝ\) e \(f:J→ℝ\) tali che \(g(I)⊆ J\), \(f,g\) sono derivabili \(n-1\) volte nei rispettivi intervalli, la loro derivata \((n-1)\)-esima è derivabile in \(x_ 0\) (risp. \(y_ 0\)) e infine \(g(x_ 0)=y_ 0\).

Si mostri che la funzione composta \(f◦ g\) è è derivabile \(n-1\) volte nell’intervallo e la sua derivata \((n-1)\)-esima è derivabile in \(x_ 0\).

Si scriva una formula esplicita per la derivata n-esima\((f◦ g)^{(n)}\) in \(x_ 0\) della composizione delle due funzioni, (formula che impieghi le derivate della sola \(f\) e della sola \(g\)).
(Se non la trovate, leggete la pagina wikipedia (in Inglese) [ 56 ] ; oppure, vedete questa presentazione: https://drive.google.com/drive/folders/1746bdJ89ZywciaEqvIMlGZ7kKHWVekhb ).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1DK’]

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[1DM]Prerequisiti:3,1.Si mostri che la funzione

\begin{equation} 𝜑(x) = \begin{cases} e^{-1/x} & \text{se}~ ~ x>0 \\ 0 & \text{se}~ ~ x≤ 0 \end{cases} \label{eq:Cinfty_ non_ analitica} \end{equation}

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è di classe \(C^∞\), e per \(x{\gt}0\) si ha

\begin{align*} 𝜑^{(n)}(x)= e^{-1/x} ∑_{m=1}^ n \binom {n-1}{m-1} \frac{n! }{ m! } \frac{(-1)^{m+n}}{x^{m+n}}\quad , \\ \quad \binom {n-1}{m-1}= \frac{(n-1)!}{(n-m)!(m-1)!}\quad . \end{align*}

mentre \(𝜑^{(n)}(x)=0\) per ogni \(n∈ℕ,x≤ 0\).

Procedete similmente per

\begin{equation} 𝜓(x) = \begin{cases} e^{-1/|x|} & \text{se}~ ~ ~ x≠ 0 \\ 0 & \text{se}~ ~ x= 0 \end{cases} \label{eq:Cinfty_ non_ analitica_ bis} \end{equation}

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anche in questo caso \(𝜓∈ C^∞\) e \(𝜓^{(n)}(0)=0\) per ogni \(n∈ℕ\); ma in questo caso \(𝜓(x)=0\iff x=0\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1DN’][UNACCESSIBLE UUID ’1DP’][UNACCESSIBLE UUID ’1DQ’]

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[1DR] Sia dato \(N\) intero positivo. Si trovi un esempio di funzione \(C^∞\) con \(𝜑(x)=0\) per \(x{\lt}0\) mentre \(𝜑^{(n)}(x){\gt}0\) per \(0≤ n≤ N\) e \(x{\gt}0\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1DS’] Notiamo però che non si può richiedere che tutte le derivate siano positive, a causa dell’esercizio 2.

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[1DT] Cosa si può mettere al posto di "???" in modo che la funzione

\[ g(x) = \begin{cases} ??? & \text{se}~ ~ ~ 0{\lt}x{\lt}1~ , \\ {} 1 & \text{se}~ ~ x≥ 1 ~ ,\\ {} 0 & \text{se}~ ~ x≤ 0~ . \end{cases} \]

sia di classe \(C^∞\)?

Più in generale, come si possono raccordare due funzioni \(C^∞\) in modo da ottenere una funzione \(C^∞\)? Date \(f_ 0,f_ 1∈ C^∞\) mostrate ¹ che esiste una funzione \(f∈ C^∞\) che soddisfa

\begin{eqnarray*} f(x) = f_ 0(x)& \text{se}~ ~ ~ x≤ 0 \quad ,\\ {} f(x) = f_ 1(x)& \text{se}~ ~ ~ x≥ 1 \quad . \end{eqnarray*}

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1DV’]

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[1DW]Difficoltà:*.Siano \(f_ 0,f_ 1:ℝ→ℝ\), \(f_ 0,f_ 1∈ C^∞\) con \(f'_ 0,f'_ 1{\gt}0\) e \(f_ 1(1){\gt}f_ 0(0)\): allora si può interpolare con una funzione \(f∈ C^∞\) che soddisfi

\begin{eqnarray*} f(x) = f_ 0(x)~ ~ \text{se}~ ~ ~ x≤ 0 \\ f(x) = f_ 1(x)~ ~ \text{se}~ ~ ~ x≥ 1 \end{eqnarray*}

in modo che l’interpolante abbia \(f'{\gt}0\).

Cosa succede se \(f_ 1(1)=f_ 0(0)\)?

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1DX’]

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[1DZ]Prerequisiti:4. Si trovi un esempio di funzione \(f:ℝ→ℝ\) con \(f∈ C^∞\) e tale, che posto \(A=\{ x:f(x)=0\} \) il luogo di zeri, si abbia che \(0\) è l’unico punto di accumulazione di \(A\), cioè \(D(A)=\{ 0\} \). Si confronti questo esempio con la Prop. 6.8.4 negli appunti [ 3 ] ; e con l’esempio 2. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1F0’]

E378

[1F1] Difficoltà:*.Note:Lemma di Hadamard.

Sia \(f:ℝ→ℝ\) una funzione di classe \(C^∞\) e tale che \(f(0)=0\). Sia, per \(x≠ 0\), \(g(x){\stackrel{.}{=}}f(x)/x\). Si mostri che \(g\) si prolunga, assegnando un opportuno valore a \(g(0)\), e che la funzione prolungata è \(C^∞\). Che rapporto c’è fra \(g^{(n)}(0)\) e \(f^{(n+1)}(0)\)?

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1F2’]

E378

[1F4]Prerequisiti:9.Difficoltà:*.Sia \(f:ℝ→[0,∞)\) una funzione di classe \(C^∞\) tale che \(f(0)=0\), \(f(x){\gt}0\) per \(x≠ 0\), e \(f''(0)≠ 0\): si mostri che

\[ g(x)= \begin{cases} \sqrt{f(x)} & se ~ x≥ 0\\ -\sqrt{f(x)} & se ~ x{\lt} 0 \end{cases} \]

è di classe \(C^∞\). Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1F5’]

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[1F7]Difficoltà:* . Dati \(x_ 0{\lt}x_ 1{\lt}x_ 2{\lt}\ldots {\lt}x_ n\) e dati numeri reali \(a_{i,h}\) (con \(i,h=0,\ldots n\)) si mostri che esiste un polinomio \(p(x)\) tale che \(p^{(i)}(x_ h)=a_{i,h}\).

Questa consideriazione è alla base della teoria dell’interpolazione secondo Hermite, si veda [ 57 ] .

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1F8’]

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[1F9] Prerequisiti:funzioni convesse.Note:Esercizio 1 del compito Marzo 2010.

Consideriamo le funzioni \(f:ℝ→ℝ\) di classe \(C^∞\), tali che per ogni fissato \(n≥ 0\), \(f^{(n)}(x)\) abbia segno costante (e cioè non si annulli mai)  ² . Associamo a ogni tale funzione la sequenza dei segni che vengono assunti da \(f,f',f''\ldots \).

Quali sono le possibili sequenze di segni, e quali invece sono le sequenze impossibili?

(Per es. presa \(f(x)=e^ x\), a questa si associa la sequenza \(+++++\ldots \), che è dunque una sequenza possibile.)

Si veda anche l’esercizio 2.

Si vedano anche gli esercizi 4 e 5 sul rapporto fra convessità e proprietà delle derivate.