EDB — 1DJ

[1DJ] Difficoltà:*.Sia \(n≥ 1\) intero. Siano \(I,J\) intervalli aperti con \(x_ 0∈ I,y_ 0∈ J\). Siano poi date \(g:I→ℝ\) e \(f:J→ℝ\) tali che \(g(I)⊆ J\), \(f,g\) sono derivabili \(n-1\) volte nei rispettivi intervalli, la loro derivata \((n-1)\)-esima è derivabile in \(x_ 0\) (risp. \(y_ 0\)) e infine \(g(x_ 0)=y_ 0\).

Si mostri che la funzione composta \(f◦ g\) è è derivabile \(n-1\) volte nell’intervallo e la sua derivata \((n-1)\)-esima è derivabile in \(x_ 0\).

Si scriva una formula esplicita per la derivata n-esima\((f◦ g)^{(n)}\) in \(x_ 0\) della composizione delle due funzioni, (formula che impieghi le derivate della sola \(f\) e della sola \(g\)).
(Se non la trovate, leggete la pagina wikipedia (in Inglese) [ 61 ] ; oppure, vedete questa presentazione: https://drive.google.com/drive/folders/1746bdJ89ZywciaEqvIMlGZ7kKHWVekhb ).