EDB — 1DM

Esercizi

1. [1DM]Prerequisiti:[1DJ]↺↻,[09N]↺↻.Si mostri che la funzione

   \begin{equation} 𝜑(x) = \begin{cases} e^{-1/x} & \text{se}~ ~ x>0 \\ 0 & \text{se}~ ~ x≤ 0 \end{cases} \label{eq:Cinfty_ non_ analitica} \end{equation}

   20

   è di classe \(C^∞\), e per \(x{\gt}0\) si ha

   \begin{align*} 𝜑^{(n)}(x)= e^{-1/x} ∑_{m=1}^ n \binom {n-1}{m-1} \frac{n! }{ m! } \frac{(-1)^{m+n}}{x^{m+n}}\quad , \\ \quad \binom {n-1}{m-1}= \frac{(n-1)!}{(n-m)!(m-1)!}\quad . \end{align*}

   mentre \(𝜑^{(n)}(x)=0\) per ogni \(n∈ℕ,x≤ 0\).

   Procedete similmente per

   \begin{equation} 𝜓(x) = \begin{cases} e^{-1/|x|} & \text{se}~ ~ ~ x≠ 0 \\ 0 & \text{se}~ ~ x= 0 \end{cases} \label{eq:Cinfty_ non_ analitica_ bis} \end{equation}

   23

   anche in questo caso \(𝜓∈ C^∞\) e \(𝜓^{(n)}(0)=0\) per ogni \(n∈ℕ\); ma in questo caso \(𝜓(x)=0\iff x=0\).

   Soluzione 1

   [1DN]↺↻