EDB — 18M

[18M] Prerequisiti:[18F]↺↻.Sia $f:(a,b)\to ℝ$ convessa.

1. Si mostri che in ogni punto esistono la derivata destra $d^{+}(x)$ e sinistra $d^{-}(x)$ (In particolare $f$ è continua).

2. Si mostri che $d^{-}(x)\le d^{+}(x)$,

3. mentre per $x<y$ si ha $d^{+}(x)\le R(x,y)\le d^{-}(y)$.

4. Si deduca che $d^{+}(x)$ e $d^{-}(x)$ sono monotone debolmente crescenti.

5. Si mostri che $d^{+}(x)$ è continua a destra, mentre $d^{-}(x)$ è continua a sinistra.

6. Inoltre si mostri che $\underset{s\to x-}{lim}{d}^{+}(s)=d^{-}(x)$, mentre $\underset{s\to x+}{lim}{d}^{-}(s)=d^{+}(x)$. In particolare $d^{+}$ è continua in $x$ se e solo se $d^{-}$ è continua in $x$ se e solo se $d^{-}(x)=d^{+}(x)$.

   Dunque $d^{+},d^{-}$ sono, per così dire, la stessa funzione monotona, solo che nei punti di discontinuità $d^{+}$ assume il valore dei limiti destri mentre $d^{-}$ il valore dei limiti sinistri.

7. Usate il precedente per mostrare che $f$ è derivabile in $x$ se e solo se $d^{+}$ è continua in $x$, se e solo se $d^{-}$ è continua in $x$.

8. Si mostri dunque che $f$ è derivabile salvo che in un numero al più numerabile di punti.