EDB — 1HS

Esercizi

1. [1HS] Note:Questo risultato è noto come “lemma del Dini”.
   Sia \((X,d)\) uno spazio metrico, sia \(I⊂ X\) un compatto e siano \(f,f_ n:I→ℝ\) continue e tali che \(f_ n(x)↘_ n f(x)\) puntualmente (cioè per ogni \(x∈ I\) e \(n\) si ha \(f(x)≤ f_{n+1}(x) ≤ f_{n}(x)\) e \(\lim _ n f_ n(x) =f(x)\)). Si mostri allora che \(f_ n→ f\) uniformemente.

   Soluzione 1

   [1HT]↺↻

   Soluzione 2

   [1HV]↺↻

   Negli esercizi successivi vedremo che se anche una sola delle ipotesi viene a mancare, allora esistono controesempi.