EDB — 1JG

[1JG] Ci chiediamo se le classi precedenti \(\mathcal F\) godono di una “proprietà di rigidità”, cioè se da una convergenza più “debole” nella classe segue una convergenza più “forte”. Dimostrate le seguenti proposizioni.

1. Siano \(f_ n,f:I→ℝ\) continue e monotone (debolmente) crescenti, definite su un intervallo \(I=[a,b]\) chiuso e limitato. Se vi è un insieme denso \(J\) in \(I\) e con \(a,b∈ J\), per cui \(∀ x∈ J, f_ n(x)→_ n f(x) \), allora \(f_ n→_ nf\) uniformemente.

   Soluzione 1

   [1JH]↺↻

2. Sia \(A⊆ ℝ\) intervallo aperto. Siano \(f_ n,f:A→ℝ\) convesse su \(A\). Se vi è un insieme \(J\) denso in \(A\) tale che \(∀ x∈ J, f_ n(x)→_ n f(x) \), allora per ogni \([a,b]⊂ A\) si ha che \(f_ n→_ n f\) uniformemente su \([a,b]\).

   Soluzione 2

   [1JJ]↺↻

3. Siano \(f_ n:I→ℝ\) una successione equicontinua di funzioni ¹ definite su un intervallo \(I=[a,b]\) chiuso e limitato, e sia \(𝜔\) il loro modulo di continuità. Se vi è un insieme \(J\) denso in \([a,b]\) tale che \(∀ x∈ J, f_ n(x)→_ n f(x) \), allora, \(f\) si estende da \(J\) a \(I\) in modo da essere continua (con modulo \(𝜔\)), e \(f_ n→_ nf\) uniformemente su \([a,b]\).

   Soluzione 3

   [1JK]↺↻

4. Siano \(f_ n,f:I→ℝ\) polinomi di grado minore o uguale a \(N\), visti come funzioni definite su un intervallo \(I=[a,b]\) chiuso e limitato; siano fissati \(N+1\) punti distinti \(a≤ x_ 0{\lt}x_ 1{\lt}x_ 2{\lt}\ldots {\lt}x_ N≤ b\); supponiamo che , per ogni \(x_ i\), \(f_ n(x_ i)→_ n f(x_ i)\): allora \(f_ n\) convergono a \(f\) uniformemente, e così ogni loro derivata \(D^ kf_ n→_ n D^ kf\) uniformemente.

   Soluzione 4

   [1JM]↺↻

Si cerchino inoltre controesempi per simili proposizioni quando applicate alle altre classi di funzioni viste nell’esercizio precedente.