EDB — 1HR

[1HR] Siano \((X_ 1,d_ 1)\) e \((X_ 2,d_ 2)\) spazi metrici. Sia \(\mathcal F\) una famiglia di funzioni \(f:X_ 1→ X_ 2\), diremo che è una famiglia equicontinua se vale una di queste proprietà equivalenti.

• \(∀ \varepsilon {\gt}0\) \(∃𝛿{\gt}0\) \(∀ f∈\mathcal F\)

  \[ ∀ x,y∈ X_ 1,~ d_ 1(x,y)≤ 𝛿⇒ d_ 2(f(x),f(y))≤ \varepsilon \quad . \]

• Esiste \(𝜔:[0,∞)→ [0,∞]\) una fissata funzione monotona debolmente crescente per cui \(\lim _{t→ 0+}𝜔(t)=𝜔(0)=0\) (che è detta “modulo di continuità” ¹ ) per cui

  \begin{equation} ∀ f∈{\mathcal F}, ~ ∀ x,y∈ X_ 1, ~ d_ 2(f(x),f(y))≤ 𝜔\big(d_ 1(x,y)\big)\quad . \label{eq:equicontinua} \end{equation}

  4

• Esiste \(𝜔:[0,∞)→ [0,∞]\) una fissata funzione continua con \(𝜔(0)=0\) che soddisfa 4.

(Per l’equivalenza fra le ultime due può essere utile [150]↺↻.)