EDB — 1T1

[1T1] Prerequisiti:[118]↺↻,[11K]↺↻.Difficoltà:*.

Sia \(V=ℂ^{n× n}\) lo spazio delle matrici, lo dotiamo di una norma \(\| C\| _ V\) submoltiplicativa. Sia \(C∈ V\) e siano \(A,B:ℝ→ V\) curve continue nello spazio delle matrici.

• Definite ricorsivamente \(Q_ 0=C\), e

  \[ Q_{n+1}(s)=∫_ 0^ s A(𝜏) Q_ n(𝜏)B(𝜏)\, {\mathbb {d}}𝜏\quad ; \]

  mostrate che la serie

  \[ Y(t)=∑_{n=0}^∞ Q_ n(t) \]

  è ben definita, mostrando che, per ogni \(T{\gt}0\), converge totalmente nello spazio delle funzioni continue \(C^ 0=C^ 0([-T,T]→ V)\), dotato della norma

  \[ \| Q\| _{C^ 0}{\stackrel{.}{=}}\max _{|t|≤ T} \| Q(t)\| _ V \quad . \]

• Mostrate che la funzione appena definita è la soluzione dell’equazione differenziale

  \[ \frac{d\hskip5.5pt}{d{t}} Y(t) = A(t) Y(t) B(t)~ ~ ~ ,~ ~ ~ Y(0)=C~ ~ . \]

• Nel caso in \(A,B\) siano costanti, notate che

  \[ Y(t)=∑_{n=0}^∞ t^ n \frac{A^ n C B^ n}{n!}\quad . \]