8.7 Continuità e limiti[2B8]
[0KB] 1 Siano \((X, τ )\) e \((Y, σ)\) due spazi topologici, con \((Y, σ)\) Hausdorff. 2 Sia \(E ⊆ X\) e \(f : E → Y\) . Sia inoltre \(x_ 0\) un punto di accumulazione di \(E\) in \(X\). Si pone \(\lim _{x→x_ 0} f (x) = ℓ ∈ Y\) se e solo se, per ogni intorno \(V\) di \(ℓ\) in \(Y\), esiste \(U\) intorno di \(x_ 0\) in \(X\) tale che \(f (U ∩ E ⧵ \{ x_ 0 \} ) ⊆ V\) .
[2B9]Siano \((X, τ )\) e \((Y, σ)\) due spazi topologici, con \((Y, σ)\) Hausdorff; sia \(f:X\to Y\) una funzione.
Si dice che \(f\) è continua in \(x_ 0\) se \(\lim _{x→x_ 0} f (x) = f(x_ 0)\).
Si dice che \(f\) è continua se (equivalentemente)
\(f\) è continua in ogni punto, cioè \(\lim _{x→y} f (x) = f(y)\) per ogni \(y∈ X\), oppure
se \(f^{-1}(A)∈ τ\) per ogni \(A∈ σ\).
(Teor. 5.7.4 negli appunti [ 3 ] .).
Una funzione continua bigettiva \(f:X\to Y\) tale che la funzione inversa \(f^{-1}:Y\to X\) sia di nuovo continua, è detta omeomorfismo.
- E264
[2BB](Proposto il 2022-12) Considerate questa affermazione.
«Sia \(f:X\to Y\) e \(x_ 0\in X\), allora \(f\) è continuo in \(x_ 0\) quando, per ogni insieme aperto \(B\subseteq Y\) con \(f(x_ 0)\in B\), abbiamo che \(f^{-1}(B)\) è aperto.»
Questa affermazione non è corretta.
Costruite un esempio di una funzione \(f:{\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}\) che è continua in \(x_ 0=0\) ma tale che, per ogni \(J=(a,b)\) intervallo limitato aperto non vuoto, \(f^{-1}(J)\) non è aperto. Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’2BC’]
- E264
[225]Difficoltà:*.
Sia \(Y\) uno spazio topologico. Diciamo che \(Y\) soddisfa la proprietà (P) rispetto ad uno spazio topologico \(X\) quando soddisfa la condizione: per ogni \(A⊆ X\) denso ed per ogni coppia di funzioni continue \(f,g: X→ Y\) tali che \(f(a)=g(a)\) per ogni \(a∈ A\) si ha necessariamente che \(f=g\).
Dimostrare che \(Y\) è di Hausdorff se e solo se soddisfa la proprietà (P) rispetto ad ogni spazio topologico \(X\).
- E264
[0KC] Prerequisiti:251.Spiegate come la definizione 261 si può vedere come un caso particolare della 263. (Sugg. procedete come in nota 251 e ponete \(E=J,X=I,x_ 0=∞\)).
- E264
[0KD]Prerequisiti:3.Siano \(X,Y\) spazi topologici Hausdorff. Sia \(E⊆ X\), sia \(f:E→ Y\), sia \(x_ 0\) un punto di accumulazione di \(E\) in \(X\).
Se \(\lim _{x→ x_ 0}f(x)=ℓ\) allora, per ogni rete \(φ:J→ X\) con \(\lim _{j∈ J} φ(j) = x_ 0\) si ha \(\lim _{j∈ J} f(φ(j)) = ℓ\).
Consideriamo l’insieme filtrante \(J\) dato dagli intorni di \(x_ 0\); 3 consideriamo le reti \(φ:J→ X\) con la proprietà che \(φ(U)∈ U⧵\{ x_ 0\} \) per ogni \(U∈ J\); notiamo che si ha \(\lim _{j∈ J} φ(j) = x_ 0\).
Se per ogni tale rete si ha \(\lim _{j∈ J} f(φ(j)) = ℓ\) allora \(\lim _{x→ x_ 0}f(x)=ℓ\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0KF’]
- E264
[0KG]Prerequisiti:1,3.Siano \(X,Y\) spazi topologici Hausdorff. Sia \(f:X→ Y\), \(x_ 0\in X\). Le seguenti affermazioni sono equivalenti.
\(f\) è continua in \(x_ 0\);
per ogni rete \(φ:J→ X\) tale che
\[ \lim _{j∈ J} φ(j) = x_ 0 \]si ha
\[ \lim _{j∈ J} f(φ(j)) = f(x_ 0)\quad . \]
Suggerimento per dimostrare che 2 implica 1. Supponiamo che \(x_ 0\) sia punto di accumulazione. Consideriamo l’insieme filtrante \(J\) dato dagli intorni di \(x_ 0\); consideriamo le reti \(φ:J→ X\) con la proprietà che \(φ(U)∈ U\) per ogni \(U∈ J\); notiamo che si ha \(\lim _{j∈ J} φ(j) = x_ 0\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0KH’]