EDB — 1P1

[1P1] Prerequisiti:[1P0]↺↻.Difficoltà:*.

Presa una curva $𝛾:I\to {ℝ}^n$ definiamo nel seguito $\hat{I}=\{t\in ℝ:-t\in I\}$ e $\widehat{𝛾}:\hat{I}\to {ℝ}^n$ tramite $\widehat{𝛾}(t)=𝛾(-t)$.

Vogliamo mostrare che, in certe ipotesi, due curve hanno lo stesso sostegno se e solo se sono equivalenti.

• Siano $𝛾,𝛿:[0,1]\to {ℝ}^n$ curve semplici, ma non chiuse, e con lo stesso sostegno. Mostrate che se $𝛾(0)=𝛿(t)$ allora $t=0$ oppure $t=1$. Nel caso $𝛾(0)=𝛿(0)$, mostrate che $𝛾\sim 𝛿$. Se invece $𝛾(0)=𝛿(1)$ allora $\widehat{𝛾}\sim 𝛿$.

• Siano $𝛾,𝛿:[0,1]\to {ℝ}^n$ curve semplici e immerse, ma non chiuse, e con lo stesso sostegno, e sia $𝛾(0)=𝛿(0)$: mostrate che $𝛾\approx 𝛿$. Se invece $𝛾(0)=𝛿(1)$ allora $\widehat{𝛾}\approx 𝛿$.

(Per il caso di curve chiuse si veda [1PT]↺↻)