EDB — 0NX

[0NX] Per gli esercizi seguenti definiamo che

1. un insieme $E$ è aperto se

   $$\begin{array}{}\text{(1)}& \forall x_0\in E,\exists r>0:B(x_0,r)\subseteq E.\end{array}$$

   4

   Si mostra che $\varnothing ,X$ sono aperti; l’intersezione di un numero finito di aperti è un aperto; l’unione di un numero arbitrario di aperti è un aperto. Dunque questi aperti formano una topologia.

2. La parte interna $E^{\circ }$ di un insieme $E$ è

   $$\begin{array}{}\text{(2)}& E^{\circ }=\{x\in E:\mathrm{\exists }r>0,B_r(x)\subseteq E\};\end{array}$$

   5

   si verifica facilmente che $E^{\circ }\subseteq E$, e che $E$ è aperto se e solo se $E^{\circ }=E$ (esercizio [0PB]↺↻).

3. Un insieme è chiuso se il complementare è aperto.

4. Un punto $x_0\in X$ è aderente a $E$ se

   $$\forall r>0,E\cap B_r(x_0)\ne \varnothing .$$

5. La chiusura $\bar{E}$ di $E$ è l’insieme dei punti aderenti; si verifica facilmente che $E\subseteq \bar{E}$; si mostra che $\bar{E}=E$ se e solo se $E$ è chiuso (esercizio [0PM]↺↻).

6. $A$ si dice denso in $B$ se $\bar{A}\supseteq B$, cioè se per ogni $x\in B$ e per ogni $r>0$ l’intersezione $B_r(x)\cap A$ è non vuota.