EDB — 2F3

[2F3]Argomenti:insieme perfetto.Prerequisiti:[0QP]↺↻,[2F2]↺↻,[2FD]↺↻.Difficoltà:**.

Supponiamo che $(X,d)$ sia uno spazio metrico completo. Un insieme chiuso $E\subseteq X$ senza punti isolati, cioè costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.

Sia $C$ l’insieme di Cantor. Sia $E$ perfetto e non vuoto. Dimostrate che esiste una funzione continua $𝜑:C\to E$ che è un omeomorfismo con la sua immagine. Questo implica che $|E|\ge |ℝ|$.

Dunque, in un certo senso, ogni insieme perfetto non vuoto contiene una copia dell’insieme di Cantor.

Questo si può mostrare senza usare l’ipotesi del continuo [2F2]↺↻. Cf. [0W3]↺↻.

Per via di [0J8]↺↻, sarà sufficiente mostrare che esiste una $𝜑:C\to E$ continua e iniettiva.