Esercizi
[0NC] Sia \(\varepsilon _ n{\gt}0\) una successione decrescente infinitesima. Se \((x_ n)⊂ X\) è una successione di Cauchy esiste una sottosuccessione \(n_ k\) tale che
\[ ∀ k ∈ℕ,~ ∀ h ∈ℕ,~ h{\gt}k ⇒ d(x_{n_ k},x_{n_ h})≤ \varepsilon _ k~ ~ . \]Questa proprietà viene spesso usata ponendo \(\varepsilon _ n=2^{-n}\), o altra successione la cui serie converge.Soluzione 1