4.1 Induzione[27J]
[1XC] Sia \(A⊇ ℕ\) e \(P(n)\) una proposizione logica che possa essere valutata per \(n∈ A\). Supponiamo siano soddisfatte le due seguenti ipotesi:
\(P(n)\) è vera per \(n=0\) e
\(∀ n∈ ℕ, P(n)⇒ P(S(n))\) ;
allora \(P\) è vera per ogni \(n∈ ℕ\).
Sia \(U=\{ n∈ ℕ:P(n)\} \) sappiamo che \(0∈ U\) e che \(∀ x, x ∈ U⇒ S(x)∈ U\) , allora da (N5) si conclude \(U=\mathbb {N}\).
- E133
[1XF] Dimostrate che \(∀ n∈ ℕ, n≠ S(n)\).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1XJ’]
- E133
[1XG] Dimostrate 1 per induzione le seguenti asserzioni:
\(∑_{k=1}^ nk=\frac{n(n+1)} 2\);
\(∑_{k=1}^ nk^ 2=\frac{n(n+1)(2n+1)} 6\);
\(∑_{k=1}^ nk^ 3=\frac{n^ 2(n+1)^ 2} 4\);
\(∑_{k=1}^ n\frac{1}{4k^ 2-1}=\frac{n}{2n+1}\);
\(∑_{k=1}^ n\frac{k}{2^ k}=2-\frac{n+2}{2^ n}\);
\(n!≥ 2^{n-1}\);
Se \(x{\gt}-1\) è un numero reale e \(n∈ ℕ\) allora \((1+x)^ n≥ 1+nx\) (diseguaglianza di Bernoulli).
Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’1XK’]