Esercizi
[1GQ]Sia \(A⊂ ℝ^ 3\) aperto e siano \(f,g:A→ℝ\) differenziabili, e tali che in \(p_ 0=(x_ 0,y_ 0,z_ 0)∈ A\) si ha che \(∇ f(p_ 0),∇ g(p_ 0) \) sono linearmente indipendenti e che \(f(p_ 0)=g(p_ 0)=0\): mostrare che l’insieme \(E=\{ f=0,g=0\} \) è una curva in un intorno di \(p_ 0\).
(Sugg. considerate che il prodotto vettore \(w=∇ f(p_ 0)× ∇ g(p_ 0)\) è nonnullo se e solo se i vettori sono linearmente indipendenti — infatti è formato dai determinanti dei minori della matrice Jacobiana; assumendo senza perdita di generalità che \(w_ 3≠ 0\), mostrate che \(E\) è localmente il grafico di una funzione \((x,y)=𝛾(z)\).)
Soluzione 1