Esercizi
[0BY] Prerequisiti:[0BS],[0BW].Dati \(x,b ∈ ℝ\) con \(x≠ 0\) irrazionale, e \(\varepsilon {\gt}0\), si dimostri che esiste un \(M\) naturale tale che \(M x-b\) dista al massimo \(\varepsilon \) da un intero.
Sia \(𝜑(x)=x-⌊ x ⌋\) la parte frazionaria di \(x\), si ha \(𝜑(x)∈[0,1)\). Il risultato precedente implica che la successione \(𝜑(nx)\) è densa nell’intervallo \([0,1]\).
Notate che invece se \(x≠ 0\) è razionale cioè \(x=n/d\) con \(n,d\) interi primi tra loro e \(d{\gt}0\), allora la successione \(𝜑(nx)\) assume tutti e soli i valori \(\{ 0,1/d,2/d,\ldots (d-1)/d\} \).
(Questo si dimostra con il Lemma di Bézout [ 29 ] ).
Soluzione 1[ [0C0]]