EDB — 0BY

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Esercizi

  1. [0BY] Prerequisiti:[0BS],[0BW].Dati \(x,b ∈ ℝ\) con \(x≠ 0\) irrazionale, e \(\varepsilon {\gt}0\), si dimostri che esiste un \(M\) naturale tale che \(M x-b\) dista al massimo \(\varepsilon \) da un intero.

    Sia \(𝜑(x)=x-⌊ x ⌋\) la parte frazionaria di \(x\), si ha \(𝜑(x)∈[0,1)\). Il risultato precedente implica che la successione \(𝜑(nx)\) è densa nell’intervallo \([0,1]\).

    Notate che invece se \(x≠ 0\) è razionale cioè \(x=n/d\) con \(n,d\) interi primi tra loro e \(d{\gt}0\), allora la successione \(𝜑(nx)\) assume tutti e soli i valori \(\{ 0,1/d,2/d,\ldots (d-1)/d\} \).

    (Questo si dimostra con il Lemma di Bézout [ 29 ] ).

    Soluzione 1

    [0BZ]

    [ [0C0]]

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Bibliografia
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  • parte intera
  • retta reale
  • polinomio
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