6.6 Approssimazione di numeri irrazionali[29Q]

Nei prossimi esercizi useremo le seguenti definizioni.

Definizione 207

[0BS] Per \(x∈ ℝ\) sia \(⌊ x ⌋\) la parte intera inferiore di \(x\) definita da

\[ ⌊ x ⌋{\stackrel{.}{=}}\max \{ n∈ℤ:n≤ x\} \]

(detta in Inglese floor function).

Definizione 208

[0BT] \(x-⌊ x ⌋\) è la parte frazionaria di \(x\).

(Posto \(𝜑(x)=x-⌊ x ⌋\), notate che \(𝜑(3,1415)=0,1415\) ma \(𝜑(-4,222)=0,778\) perché \(⌊ -4,222 ⌋=-5\)).

E208

[0BV]Notate che \(k=⌊ x ⌋\) è l’unico intero per cui si ha \(k≤ x {\lt} k+1\) o equivalentemente \(0≤ (x-k){\lt}1\) o equivalentemente \(x-1{\lt}k≤ x\).

E208

[0BW] Prerequisiti:207.Dati \(x ∈ \mathbb {R}\) e \(N ∈ \mathbb {N}, N≥ 2\), si dimostri che almeno un elemento dell’insieme \(\{ x, 2x, \ldots , (N-1)x\} \) dista al massimo \(1/N\) da un intero, cioè esistono \(n,m∈ℤ\) con \(1≤ n≤ N-1\) tali che \(|nx-m|≤ 1/N\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0BX’]

E208

[0BY] Prerequisiti:207,2.Dati \(x,b ∈ ℝ\) con \(x≠ 0\) irrazionale, e \(\varepsilon {\gt}0\), si dimostri che esiste un \(M\) naturale tale che \(M x-b\) dista al massimo \(\varepsilon \) da un intero.

Sia \(𝜑(x)=x-⌊ x ⌋\) la parte frazionaria di \(x\), si ha \(𝜑(x)∈[0,1)\). Il risultato precedente implica che la successione \(𝜑(nx)\) è densa nell’intervallo \([0,1]\).

Notate che invece se \(x≠ 0\) è razionale cioè \(x=n/d\) con \(n,d\) interi primi tra loro e \(d{\gt}0\), allora la successione \(𝜑(nx)\) assume tutti e soli i valori \(\{ 0,1/d,2/d,\ldots (d-1)/d\} \).

(Questo si dimostra con il Lemma di Bézout [ 39 ] ).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0BZ’]

[UNACCESSIBLE UUID ’0C0’]

[0C1]Prerequisiti:2. (Teorema di approssimazione di Dirichlet) Dato un numero irrazionale \(x\), si dimostri che esistono infiniti razionali \(𝛼\) tali che si può rappresentare \(𝛼=m/n\) in modo da soddisfare la relazione

\[ \left| x - \frac m n \right| {\lt} \frac 1{n^ 2}\quad . \]

Alcuni commenti.

  • Si noti per ogni fissato \(n≥ 2\) esiste al più un \(m\) per cui la precedente relazione vale; ma potrebbe non esisterne uno.

  • Si noti che se la relazione vale per un \(𝛼\) razionale, vi sono solo finite scelte di rappresentazioni per cui vale,

  • e sicuramente vale per la scrittura “canonica” con \(n,m\) primi fra loro.

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0C2’]

[2B0]Notate che il teorema di Hurwitz [ 37 ] dice che per ogni irrazionale \(𝜉\) esistono infiniti \(m, n∈ℤ\) coprimi per cui

\[ \left|𝜉 -{\frac{m}{n}}\right|{\lt}{\frac{1}{{\sqrt{5}}\, n^{2}}}. \]

[0C3]Fissati \(k{\gt}0\), \(\varepsilon {\gt}0\) e un numero razionale \(x\), si dimostri che esistono solo finiti razionali \(𝛼\) tali che si può rappresentare \(𝛼=m/n\) in modo da soddisfare la relazione

\[ \left| x - \frac m n \right| ≤ \frac k{n^{1+\varepsilon }}\quad . \]

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0C4’] [0C5]Dimostrare che per ogni razionale \(m/n\) si ha

\[ \left| \sqrt{2} - \frac m n \right| {\gt} \frac 1{4n^ 2}. \]

Si ottiene che l’insieme \(A = ⋃_{m∈ℤ,n ∈ \mathbb {N}^*} \left( \frac m n - \frac 1{4n^ 2} , \frac m n + \frac 1{4n^ 2}\right)\) è un aperto che contiene ogni numero razionale, ma \(A≠ℝ\).

Soluzione nascosta: [UNACCESSIBLE UUID ’0C6’]