Esercizi
[0C1]Prerequisiti:[0BW]. (Teorema di approssimazione di Dirichlet) Dato un numero irrazionale \(x\), si dimostri che esistono infiniti razionali \(𝛼\) tali che si può rappresentare \(𝛼=m/n\) in modo da soddisfare la relazione
\[ \left| x - \frac m n \right| {\lt} \frac 1{n^ 2}\quad . \]Alcuni commenti.
Si noti per ogni fissato \(n≥ 2\) esiste al più un \(m\) per cui la precedente relazione vale; ma potrebbe non esisterne uno.
Si noti che se la relazione vale per un \(𝛼\) razionale, vi sono solo finite scelte di rappresentazioni per cui vale,
e sicuramente vale per la scrittura “canonica” con \(n,m\) primi fra loro.
Soluzione 1