EDB β€” 0XH

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Esercizi

  1. [0XH] Provate queste relazioni fondamentali.

    1. \(|1|_ p=1\) e piΓΉ in generale \(|n|_ p≀ 1\) per ogni intero nonnullo \(n\), con uguaglianza se \(n\) non Γ¨ divisibile per \(p\).

    2. Dato \(n\) intero nonnullo, si ha che \(|n|_ p=p^{-πœ‘_ p(n)}\).

    3. Dato \(n,m\) interi, si ha che \(πœ‘_ p(n+m)β‰₯ \min \{ πœ‘_ p(n),πœ‘_ p(m)\} \) con uguaglianza se \(πœ‘_ p(n)β‰  πœ‘_ p(m)\).

    4. Dato \(n,m\) interi nonnulli, si ha che \(πœ‘_ p(nm)=πœ‘_ p(n)+πœ‘_ p(m)\) e dunque \(|nm|_ p=|n|_ p |m|_ p\).

    5. Dato \(x=a/b\) con \(a,b\) interi nonnulli si ha che \(|x|_ p=p^{-πœ‘_ p(a)+πœ‘_ p(b)}\). Notiamo che se \(a,b\) sono primi tra loro, allora uno dei due termini \(πœ‘_ p(a),πœ‘_ p(b)\) Γ¨ zero.

    6. Provate che \(|x y|_ p = |x|_ p |y|_ p\) per \(x,yβˆˆβ„š\).

    7. Provate che \(|x/y|_ p = |x|_ p / |y|_ p\) per \(x,yβˆˆβ„š\) non nulli.

    [ [0XJ]] [ [0XK]]

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