EDB — 02D

[02D] Sia \(V\) uno spazio vettoriale reale. Sia \(B⊆ V\). Una combinazione lineare finita \(v\) di elementi di \(B\) è equivalentemente definita come

• \(v=∑_{i=1}^ nℓ_ i b_ i\) dove \(n=n(v)∈ℕ\), \(ℓ_ 1,\ldots , ℓ_ n∈ℝ\) e \(b_ 1,\ldots ,b_ n\) sono elementi di \(B\);

• \(v=∑_{b∈ B} 𝜆(b) b\) dove \(𝜆:B→ℝ\) ma inoltre \(𝜆(b)≠ 0\) solo per un numero finito di \(b∈ B\).

Chiamiamo \(Λ⊆ ℝ^ B\) l’insieme delle funzioni \(𝜆\) (come sopra usate) che sono non nulle solo per un numero finito di argomenti; \(Λ\) è uno spazio vettoriale: per questo la seconda definizione è meno intuitiva ma è più facile da maneggiare.

Diremo che \(B\) genera \(V\) se ogni \(v∈ V\) si scrive come combinazione lineare finita di elementi di \(B\).

Diremo che i vettori di \(B\) sono linearmente indipendenti se \(0=∑_{b∈ B} 𝜆(b) b\) implica \(𝜆≡ 0\); o equivalentemente che, dati \(n≥ 1\), \(ℓ_ 1,\ldots , ℓ_ n∈ℝ\) e \(b_ 1,\ldots ,b_ n∈ B\) tutti diversi, la relazione \(∑_{i=1}^ nℓ_ i b_ i=0\) implica \(∀ i≤ n,ℓ_ i=0\).

Diremo che \(B\) è una base algebrica (anche nota come base di Hamel) se valgono entrambe le proprietà.

Se \(B\) è una base allora la combinazione lineare che genera \(v\) è unica (cioè vi è un’ unica funzione \(𝜆∈Λ\) per cui \(v=∑_{b∈ B} 𝜆(b) b\)).

Mostrate che ogni spazio vettoriale ha una base algebrica. Mostrate più in generale che per ogni \(A,G⊆ V\), con \(A\) famiglia di vettori linearmente indipendenti e \(G\) generatori, esiste una base algebrica \(B\) con \(A⊆ B⊆ G\).

La dimostrazione in generale necessita del Lemma di Zorn; anzi, questo enunciato è equivalente all’ Assioma della Scelta; questo è stato dimostrato da A. Blass in [ 8 ] ; si veda anche Part 1 §6 [ 24 ] .