EDB — 02D

[02D] Sia $V$ uno spazio vettoriale reale. Sia $B\subseteq V$. Una combinazione lineare finita $v$ di elementi di $B$ è equivalentemente definita come

• $v={\sum }_{i=1}^n{\ell }_i{b}_i$ dove $n=n(v)\in \mathbb{N}$, ${\ell }_1,\dots ,{\ell }_n\in ℝ$ e $b_1,\dots ,b_n$ sono elementi di $B$;

• $v={\sum }_{b\in B}𝜆(b)b$ dove $𝜆:B\to ℝ$ ma inoltre $𝜆(b)\ne 0$ solo per un numero finito di $b\in B$.

Chiamiamo $\Lambda \subseteq {ℝ}^B$ l’insieme delle funzioni $𝜆$ (come sopra usate) che sono non nulle solo per un numero finito di argomenti; $\Lambda$ è uno spazio vettoriale: per questo la seconda definizione è meno intuitiva ma è più facile da maneggiare.

Diremo che $B$ genera $V$ se ogni $v\in V$ si scrive come combinazione lineare finita di elementi di $B$.

Diremo che i vettori di $B$ sono linearmente indipendenti se $0={\sum }_{b\in B}𝜆(b)b$ implica $𝜆\equiv 0$; o equivalentemente che, dati $n\ge 1$, ${\ell }_1,\dots ,{\ell }_n\in ℝ$ e $b_1,\dots ,b_n\in B$ tutti diversi, la relazione ${\sum }_{i=1}^n{\ell }_i{b}_i=0$ implica $\forall i\le n,{\ell }_i=0$.

Diremo che $B$ è una base algebrica (anche nota come base di Hamel) se valgono entrambe le proprietà.

Se $B$ è una base allora la combinazione lineare che genera $v$ è unica (cioè vi è un’ unica funzione $𝜆\in \Lambda$ per cui $v={\sum }_{b\in B}𝜆(b)b$).

Mostrate che ogni spazio vettoriale ha una base algebrica. Mostrate più in generale che per ogni $A,G\subseteq V$, con $A$ famiglia di vettori linearmente indipendenti e $G$ generatori, esiste una base algebrica $B$ con $A\subseteq B\subseteq G$.

La dimostrazione in generale necessita del Lemma di Zorn; anzi, questo enunciato è equivalente all’ Assioma della Scelta; questo è stato dimostrato da A. Blass in [ 8 ] ; si veda anche Part 1 §6 [ 24 ] .