EDB — 1Y1

[1Y1] L’assioma dell’insieme potenza dice che per ogni insieme $A$, esiste un insieme $\mathcal{P}(A)$ i cui elementi sono tutti e soli i sottoinsiemi di $A$. Una formula abbreviata di definizione è

$\mathcal{P}(A)$ si chiama anche insieme delle parti.

Nel linguaggio formale degli assiomi di Zermelo-Fraenkel, l’assioma si scrive:

questa formula comporta che l’insieme potenza $Z$ è unico, dunque possiamo denotarlo con il simbolo $\mathcal{P}(A)$ senza tema di equivoci.

Notate che

si può abbreviare con $y\subseteq A$ e dunque l’assioma può essere scritto come

usando poi l’estensionalità, si ottiene che