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[02M]Difficoltà:*. 1 Considerate lo spazio quoziente
\[ {\mathbb X}=\{ a:ℕ→ℕ \} / ∼ \]dove \(\{ a:ℕ→ℕ \} =ℕ^ℕ\) sono tutte le successioni a valori naturali, e dove definiamo \(a∼ b\) sse \(a_ k= b_ k\) definitivamente in \(k\).
Definiamo l’ordinamento
\[ a⪯ b \iff ∃ n \mbox{ s.t. } ∀ k≥ n, a_ k≤ b_ k \]cioè \(a⪯ b\) quando \(a_ k≤ b_ k\) definitivamente. Questa è un preordine e
\[ a\sim b \iff (a⪯ b\land b⪯ a) \]e dunque passa al quoziente dove diviene un ordine, si veda Prop. [1Z7].
Sia ora \(a^ k\) una successione crescente di successioni, cioè \(a^ k⪯ a^{k+1}\); notiamo che essa è limitata superiormente da \(b\) definito come
\[ b_ n = \sup _{h,k≤ n} a^ k_ h ~ . \]Possiamo dunque applicare il Lemma di Zorn a \(({\mathbb X},⪯)\) per dire che esistono massimali.
Dati \(a,b\) definiamo
\[ a∨ b = (a_ n∨ b_ n )_ n \]allora è facilmente verificato che \(a⪯ a∨ b\). Questo ci dice che l’ordinamento è diretto, si veda [06N].
Concludiamo dunque che \(({\mathbb X},⪯)\) ha un unico massimo, per [06S].
Questo però è falso, perché se si prende una qualsiasi successione \(a\), la successione \((a_ n+1)_ n\) è più grande di \(a\).
Qual è l’errore nel ragionamento precedente? Cosa si può dunque concludere riguardo a \(({\mathbb X},⪯)\)?
EDB — 02M
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Authors:
"Mennucci , Andrea C. G."
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