Esercizi
[06G] Sia \(R⊆ X× X\) una relazione; presi \(x,y∈ X\) scriveremo \(xRy\) invece di \((x,y)∈ R\). Supponiamo che \(R\) sia riflessiva cioè \(xRx\) per ogni \(x\), e che sia transitiva cioè per ogni \(x,y,z∈ X\) si abbia \(xRy∧ yRz⇒ xRz\).
\(R\) non è necessariamente una relazione d’ordine, perché non abbiamo ipotizzato che sia antisimmetrica: possiamo però “costruire” una relazione d’ordine “identificando fra loro” gli elementi di \(X\) su cui \(R\) non è antisimmetrica. Vediamo la costruzione nel dettaglio.
Sia ora \(∼\) la relazione data da
\[ x∼ y \iff xRy ∧ yRx \]si mostri che è una relazione di equivalenza.
Si consideri il quoziente \(Y=X/∼\), vogliamo mostrare come \(R\) passa al quoziente e produce una relazione \(T\) su \(Y\). Si mostri che se \(x,y,\tilde x,\tilde y∈ X\) e si ha \(x∼ \tilde x,y∼ \tilde y\) allora \(xRy\iff \tilde xR\tilde y\). Definiamo dunque \(T\) come l’insieme di tutte le coppie di classi di equivalenza i cui prodotti sono contenuti in \(R\) cioé \(T=\{ (z,w)∈ Y^ 2 : z× w ⊆ R\} \); questo si può scrivere anche come
\[ zTw \iff (∀ x∈ z,∀ y∈ w , xRy) \]abbreviamo questa definizione come \([x]T[y] \iff xRy\) (che è una buona definizione perché il membro destro non dipende dalla scelta dei rappresentanti nelle classi).
Si mostri infine che \(T\) è una relazione d’ordine su \(Y\).
Soluzione 1