EDB — 08Z

[08Z]

Sia $A$ un insieme non vuoto; sia $a\in A$ fissato, siano date funzioni $g_n:A\to A$ per ogni $n\in \mathbb{N}$. Allora esiste ed è unica la funzione $f:\mathbb{N}\to A$ tale che

• $f(0)=a$, e

• per ogni $n\in \mathbb{N}$ si ha $f(S(n))=g_n(f(n))$.

Si dice che la funzione $f$ è definita per ricorrenza dalle due precedenti condizioni.

Più in generale date $g_n:A^{n+1}\to A$, si mostra che esiste ed è unica la funzione $f:\mathbb{N}\to A$ tale che $f(0)=a$ e per ogni $n\in \mathbb{N}$ si ha $f(S(n))=g_n(f(0),f(1),\dots f(n))$.