EDB — 08Z

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Teorema 2

[08Z]

Sia \(A\) un insieme non vuoto; sia \(a∈ A\) fissato, siano date funzioni \(g_ n:A→ A\) per ogni \(n∈ℕ\). Allora esiste ed è unica la funzione \(f:ℕ→ A\) tale che

  • \(f(0)=a\), e

  • per ogni \(n∈ℕ\) si ha \(f(S(n))=g_ n(f(n))\).

Si dice che la funzione \(f\) è definita per ricorrenza dalle due precedenti condizioni.

Proof

[090]

Più in generale date \(g_ n:A^{n+1}→ A\), si mostra che esiste ed è unica la funzione \(f:ℕ→ A\) tale che \(f(0)=a\) e per ogni \(n∈ℕ\) si ha \(f(S(n))=g_ n(f(0),f(1),\ldots f(n))\).

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Bibliografia
Indice analitico
  • ricorrenza, definizione per
  • definizione, per ricorrenza
  • successione, definita per ricorrenza
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