EDB — 092

Esercizi

1. [092] Siano \(D,C\) insiemi non vuoti e \(f:D→ C\) una funzione. Siano \(I\) una famiglia nonvuota di indici, \(A_ i⊆ D\), per \(i∈ I\). Dato \(A⊆ D\) ricordiamo che la immagine di \(A\) è il sottoinsieme \(f(A)\) di \(D\) dato da

   \[ f(A){\stackrel{.}{=}}\{ f(x), x ∈ A\} ~ ~ . \]

   Mostrate queste proprietà della immagine.

   \begin{eqnarray} f\bigl(⋃_{i∈ I} A_ i \bigr) & =& ⋃_{i∈ I} f\bigl(A_ i \bigr) \nonumber \\ f\bigl(⋂_{i∈ I} A_ i \bigr) & ⊆ & ⋂_{i∈ I} f\bigl(A_ i \bigr) \nonumber ~ ~ . \end{eqnarray}

   Mostrate che la funzione è iniettiva se e solo se

   \begin{equation} f\bigl( A_ 1∩ A_ 2 \bigr) = f\bigl(A_ 1 \bigr) ∩ f\bigl(A_ 2 \bigr) \end{equation}

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   è un’ uguaglianza per ogni scelta di \(A_ 1,A_ 2⊆ D\).