Esercizi
[0DN]Note:metodo Babilonese per la radice quadrata. Sia \(S{\gt}0\) e consideriamo la successione definita per ricorrenza da
\[ x_{n+1} = \frac 1 2 \left( x_ n + \frac{S}{x_ n} \right) \quad ; \]mostrate che \(x_ n→ \sqrt S\) e che, per \(S∈ [1/4,1]\) e \(x_ 0=1\), la convergenza è superquadratica, cioè
\[ \left| x_ n-\sqrt{S} \right| ≤ 2^{1-2^ n }\quad . \]Trovate una funzione \(f(x)\) (dipendente da \(S\) ) tale che la precedente iterazione si possa vedere come un metodo di Newton, cioè
\[ x - \frac{f(x)}{f'(x)} = \frac 1 2 \left( x + \frac{S}{x} \right). \]Generalizzate il metodo Babilonese per trovare una radice \(\sqrt[k]{S}\).
Soluzione 1