EDB — 0F4

Esercizi

1. [0F4]Note:Compitino del 4 Apr 2009, ese 1.(Proposto il 2022-12-13) Data una successione \((a_ n)_{n}\) di numeri strettamente positivi, si dice che il prodotto infinito \(∏_{n=0}^∞ a_ n\) converge se esiste finito e strettamente positivo il limite dei prodotti parziali, cioè

   \[ \lim _{N→+∞}∏_{n=0}^ Na_ n ∈ (0,+∞)\quad . \]

   Si dimostri che

   1. se \(∏_{n=0}^∞ a_ n\) converge allora \(\lim _{n→+∞}a_ n=1\);

   2. se la serie \(∑_{n=0}^∞|a_ n-1|\) converge, allora converge anche \(∏_{n=0}^∞ a_ n\);

   3. trovate un esempio in cui la serie \(∑_{n=0}^∞(a_ n-1)\) converge ma \(∏_{n=0}^∞ a_ n=0\).