Esercizi
[0F5]Indichiamo con \({\mathcal P}_{\mathfrak f}({\mathbb {N}})\) l’insieme dei sottoinsiemi \(B⊆ {\mathbb {N}}\) che sono insiemi finiti. Questo è detto l’insieme delle parti finite.
Abbreviamo \({\mathcal P}={\mathcal P}_{\mathfrak f}({\mathbb {N}})\) nel seguito.
Data una successione \((a_ n)_ n\) di numeri reali e un \(B∈{\mathcal P}\) indichiamo con \(s(B)=∑_{n∈ B} a_ n\) la somma finita con indici in \(B\).
Supponiamo che la serie \(∑_{n=0}^∞ a_ n\) converga ma non converga assolutamente. Allora:
\(\{ s(F ) : F ∈{\mathcal P}\} \) è denso in \({\mathbb {R}}\).
Esiste un riordinamento \(σ\) di \({\mathbb {N}}\), cioè una funzione bigettiva \(σ:{\mathbb {N}}→{\mathbb {N}}\), tale che l’insieme delle somme parziali \(∑_{n=0}^ N a_{σ(n)}\) (al variare di \(N\)) è denso in \({\mathbb {R}}\).
[ [0F6]]