Esercizi
[0F8]Sia data una successione \((a_ n)_{n∈ {\mathbb {N}}}\) di numeri reali positivi tale che \(\lim _{n→∞} a_ n=0\) e \(∑_{n=0}^∞ a_ n=∞\): dimostrare che per ogni \(l ∈ {\mathbb {R}}\) esiste una successione \((ε_ n )_{n∈{\mathbb {N}}}\) con \(ε_ n ∈\{ 1,-1\} \) per ogni n, tale che
\[ ∑_{n=0}^∞ (ε_ n a_ n)=l\quad . \]Se invece \(∑_{n=0}^∞ a_ n=S{\lt}∞\), cosa si può dire dell’insieme \(E\) delle somme \(∑_{n=0}^∞ (ε_ n a_ n)=l\), al variare di \((ε_ n )_{n∈{\mathbb {N}}}\) con \(ε_ n ∈\{ 1,-1\} \) per ogni n?
Analizzate i casi in cui \(a_ n=2^{-n}\) oppure \(a_ n=3^{-n}\)
Mostrate che \(E\) è sempre chiuso.
Sotto quali ipotesi si ha che \(E=[-S,S]\)?
Suggerimento. Sia \(\tilde E\) l’insieme delle somme \(∑_ n (ε_ n a_ n)=l\), al variare di \((ε_ n )_{n∈{\mathbb {N}}}\) con \(ε_ n ∈ \{ 0,1\} \) per ogni n; notate che \(\tilde E=\{ (S+x)/2 : x∈ E\} \).