EDB — 0F8

Esercizi

1. [0F8]Sia data una successione $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ di numeri reali positivi tale che $\underset{n\to \infty }{lim}{a}_n=0$ e ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n=\infty$: dimostrare che per ogni $l\in \mathbb{R}$ esiste una successione $({\epsilon }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ con ${\epsilon }_n\in \{1,-1\}$ per ogni n, tale che

   $${\sum }_{n=0}^{\infty }({\epsilon }_n{a}_n)=l.$$

   Se invece ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n=S<\infty$, cosa si può dire dell’insieme $E$ delle somme ${\sum }_{n=0}^{\infty }({\epsilon }_n{a}_n)=l$, al variare di $({\epsilon }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ con ${\epsilon }_n\in \{1,-1\}$ per ogni n?

   • Analizzate i casi in cui $a_n=2^{-n}$ oppure $a_n=3^{-n}$

   • Mostrate che $E$ è sempre chiuso.

   • Sotto quali ipotesi si ha che $E=[-S,S]$?

   Suggerimento. Sia $\tilde{E}$ l’insieme delle somme ${\sum }_n({\epsilon }_n{a}_n)=l$, al variare di $({\epsilon }_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ con ${\epsilon }_n\in \{0,1\}$ per ogni n; notate che $\tilde{E}=\{(S+x)/2:x\in E\}$.