EDB — 0FR

[0FR] Prerequisiti:[06V]↺↻, [06Y]↺↻, Sez. [1YY]↺↻.

Dato $J$ insieme ordinato (parzialmente) e filtrante, e data $f:J\to ℝ$, vogliamo definire il concetto di limite di $f(j)$ “per $j\to \infty$”.  ¹ .

• Diremo che

  $$\underset{j\in J}{lim}f(j)=l\in ℝ$$

  se

  $$\forall \epsilon >0\exists k\in J\forall j\in J,j\ge k\Rightarrow |l-f(j)|<\epsilon .$$

  Similmente si definiscono i casi $l=\pm \infty$ (imitando le definizioni usate quando $J=\mathbb{N}$.) (Questa è la definizione negli appunti del corso, cap. 4 sez. 2 in [ 3 ] )

• Equivalentemente possiamo dire che

  $$\underset{j\in J}{lim}f(j)=l\in \overline{ℝ}$$

  se per ogni intorno $U$ di $l$ si ha che $f(j)\in U$ definitivamente per $j\in J$; dove definitivamente è stato definito in [06Y]↺↻.

• Ricordiamo da [231]↺↻ che “un intorno di $\infty$ in $J$” è un sottoinsieme $U\subseteq J$ tale che $\exists k\in J\forall j\in J,j\ge k\Rightarrow j\in U$. Allora possiamo imitare la definizione [20D]↺↻.

  Data $l\in \overline{ℝ}$ si ha $\underset{j\in J}{lim}f(j)=l$ quando per ogni intorno $V$ “pieno” di $l$ in $ℝ$, esiste intorno $U$ di $\infty$ in $J$ tale che $f(U)\subseteq V$.

In particolare questa ultima definizione si può usare per definire i limiti di $f:J\to E$ dove $E$ è uno spazio topologico.