EDB — 0GQ

[0GQ] Prerequisiti:[06N]↺↻,[06M]↺↻,[06V]↺↻.Difficoltà:*.(Replaces 29W)

Sia \((X,\tau )\) uno spazio topologico. Consideriamo l’ordinamento discendente fra insiemi  ¹ , con questo ordinamento \(𝜏\) è un insieme diretto; notiamo che ha minimo, dato da \(∅\).

Supponiamo ora che la topologia sia Hausdorff. Preso poi \(x∈ A\), sia \({{\mathcal U}}=\{ A∈𝜏: x∈ A\} \) la famiglia degli aperti che contengono \(x\): mostrate che \({{\mathcal U}}\) è un insieme diretto; mostrate che ha minimo se e solo se il singoletto \(\{ x\} \) è aperto (e in questo caso il minimo è \(\{ x\} \)). ²

Per l’esercizio [06V]↺↻, quando \(\{ x\} \) non è aperto allora \({{\mathcal U}}\) è un insieme filtrante, e dunque può essere usato come famiglia di indici per definire un “limite” non banale (si veda la nota [237]↺↻). Vedremo applicazioni in sezione [2B8]↺↻.