EDB — 0GQ

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E15

[0GQ] Prerequisiti:[06N],[06M],[06V].Difficoltà:*.(Replaces 29W)

Sia \((X,\tau )\) uno spazio topologico. Consideriamo l’ordinamento discendente fra insiemi  1 , con questo ordinamento \(𝜏\) è un insieme diretto; notiamo che ha minimo, dato da \(∅\).

Supponiamo ora che la topologia sia Hausdorff. Preso poi \(x∈ A\), sia \({{\mathcal U}}=\{ A∈𝜏: x∈ A\} \) la famiglia degli aperti che contengono \(x\): mostrate che \({{\mathcal U}}\) è un insieme diretto; mostrate che ha minimo se e solo se il singoletto \(\{ x\} \) è aperto (e in questo caso il minimo è \(\{ x\} \)). 2

Soluzione 1

[0GR]

Per l’esercizio [06V], quando \(\{ x\} \) non è aperto allora \({{\mathcal U}}\) è un insieme filtrante, e dunque può essere usato come famiglia di indici per definire un “limite” non banale (si veda la nota [237]). Vedremo applicazioni in sezione [2B8].

  1. Per riportarci formalmente alla definizione vista in [06N] definiamo \(A ⪯ B \iff A⊇ B\) e associamo l’ordinamento \(⪯\) a \(𝜏\).
  2. Notate che, il singoletto \(\{ x\} \) è aperto se e solo se \(x\) è un punto isolato.
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Bibliografia
Indice analitico
  • topologico, spazio
  • spazio, topologico
  • ordinamento, diretto, di insiemi
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