EDB — 0HP

[0HP] Prerequisiti:[0KX]↺↻,[0KZ]↺↻.Sia \(X=ℝ∪\{ +∞,-∞\} \), consideriamo la famiglia \(\mathcal B\) di parti di \(X\) che contiene

• gli intervalli aperti \((a,b)\) con \(a,b∈ℝ\) e \(a{\lt}b\),

• le semirette \((a,+∞]=(a,+∞)∪\{ +∞\} \) con \(a∈ℝ\),

• le semirette \([-∞,b)=(-∞,b)∪\{ -∞\} \) con \(b∈ℝ\).

(Notate l’analogia degli insiemi nel secondo e terzo punto, con gli “intorni di infinito” visti in Sez. [29H]↺↻).

Si mostri che \(\mathcal B\) verifica le proprietà (a),(b) viste in [0KX]↺↻. Sia \(𝜏\) dunque la topologia generata da questa base. Lo spazio topologico \((X,𝜏)\) è detto retta estesa, spesso indicata \(\overlineℝ\).

Questo spazio topologico è \(T_ 2\), è compatto (Esercizio [0JB]↺↻), e è omoemorfo all’intervallo \([0,1]\). Può essere dotato di una distanza che genera la topologia sopra descritta.