EDB — 0HP

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E32

[0HP] Prerequisiti:[0KX],[0KZ].Sia \(X=ℝ∪\{ +∞,-∞\} \), consideriamo la famiglia \(\mathcal B\) di parti di \(X\) che contiene

  • gli intervalli aperti \((a,b)\) con \(a,b∈ℝ\) e \(a{\lt}b\),

  • le semirette \((a,+∞]=(a,+∞)∪\{ +∞\} \) con \(a∈ℝ\),

  • le semirette \([-∞,b)=(-∞,b)∪\{ -∞\} \) con \(b∈ℝ\).

(Notate l’analogia degli insiemi nel secondo e terzo punto, con gli “intorni di infinito” visti in Sez. [29H]).

Si mostri che \(\mathcal B\) verifica le proprietà (a),(b) viste in [0KX]. Sia \(𝜏\) dunque la topologia generata da questa base. Lo spazio topologico \((X,𝜏)\) è detto retta estesa, spesso indicata \(\overlineℝ\).

Questo spazio topologico è \(T_ 2\), è compatto (Esercizio [0JB]), e è omoemorfo all’intervallo \([0,1]\). Può essere dotato di una distanza che genera la topologia sopra descritta.

Soluzione 1

[0HQ]

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Bibliografia
Indice analitico
  • topologico, spazio
  • spazio, topologico
  • \( \overline ℝ \) , si veda retta estesa
  • retta, estesa
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