EDB — 0HR

[0HR] Prerequisiti:[0KX]↺↻,[0KZ]↺↻.Sia \(X=ℝ∪\{ ∞\} \), consideriamo questa famiglia \(\mathcal B\) di parti di \(X\):

• gli intervalli aperti \((a,b)\) con \(a,b∈ℝ\) e \(a{\lt}b\),

• gli insiemi \((a,+∞)∪(-∞,b)∪\{ ∞\} \) con \(a,b∈ℝ\) e \(a{\lt}b\).

Si mostri che \(\mathcal B\) verifica le proprietà (a),(b) viste in [0KX]↺↻. Sia \(𝜏\) dunque la topologia generata da questa base. Lo spazio topologico \((X,𝜏)\) è detto retta compattificata a un punto. Questo spazio topologico è \(T_ 2\), è compatto (Eser. [0JD]↺↻); è omeomorfo alla circonferenza (Eser. [0YF]↺↻); dunque può essere dotato di una distanza che genera la topologia sopra descritta.