EDB — 0KD

[0KD]Prerequisiti:[0KC]↺↻.Siano \(X,Y\) spazi topologici Hausdorff. Sia \(E⊆ X\), sia \(f:E→ Y\), sia \(x_ 0\) un punto di accumulazione di \(E\) in \(X\).

• Se \(\lim _{x→ x_ 0}f(x)=ℓ\) allora, per ogni rete \(φ:J→ X\) con \(\lim _{j∈ J} φ(j) = x_ 0\) si ha \(\lim _{j∈ J} f(φ(j)) = ℓ\).

• Consideriamo l’insieme filtrante \(J\) dato dagli intorni di \(x_ 0\); ¹ consideriamo le reti \(φ:J→ X\) con la proprietà che \(φ(U)∈ U⧵\{ x_ 0\} \) per ogni \(U∈ J\); notiamo che si ha \(\lim _{j∈ J} φ(j) = x_ 0\).

  Se per ogni tale rete si ha \(\lim _{j∈ J} f(φ(j)) = ℓ\) allora \(\lim _{x→ x_ 0}f(x)=ℓ\).