EDB — 0RC

Esercizi

1. [0RC] Argomenti:insieme ingrassato.Prerequisiti:[0R9]↺↻.

   Consideriamo uno spazio metrico $(M,d)$. Sia $A\subseteq M$ chiuso e non-vuoto, sia $r>0$ fissato, e sia $d_A$ la funzione distanza definita come in eqn. [(9.62)]↺↻. Sia poi $E=\{x,d_A(x)\le r\}$, notate che è chiuso.

   1. Mostrate che

      $$\begin{array}{}\text{(1)}& d_E(x)\ge max\{0,(d_A(x)-r)\}.\end{array}$$

      62

   2. Mostrate che in ?? si ha uguaglianza se $M={ℝ}^N$.

   3. Date un semplice esempio di spazio metrico in cui non si ha uguaglianza in ??.

   4. Se $M={ℝ}^n$, dato $A\subset {ℝ}^n$ chiuso non-vuoto, mostrate che $E=A\oplus D_r$ dove $D_r\stackrel{.}{=}\{x,|x|\le r\}$ e

      $$A\oplus B\stackrel{.}{=}\{x+y,x\in A,y\in B\}$$

      è la somma di Minkowski dei due insiemi (si anche veda la sezione [2CP]↺↻).

   Soluzione 1

   [0RD]↺↻

   L’insieme $\{x,d_A(x)\le r\}=A\oplus D_r$ è alle volte chiamato “ingrassato” di $A$. In figura 3 vediamo un esempio di insieme $A$ ingrassato per $r=1,2$; l’insieme $A$ è il poligono nero (che è pieno) mentre le linee tratteggiate nel disegno indicano i contorni degli insiemi ingrassati. ¹ Si vedano anche le proprietà in sezioni [2CP]↺↻ e [2CQ]↺↻.