Teorema
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[0V3] Dato uno spazio metrico \((X,d)\) e un suo sottoinsieme \(C⊆ X\), le tre seguenti condizioni sono equivalenti.
\(C\) è sequenzialmente compatto: ogni successione \((x_ n)⊂ C\) possiede una sottosuccessione convergente a un elemento di \(C\).
\(C\) è compatto: da ogni famiglia di aperti la cui unione copre \(C\) si può scegliere un numero finito di aperti la cui unione copre \(C\).
\(C\) è completo, ed è totalmente limitato: per ogni \(𝜀{\gt}0\) esistono finiti punti \(x_ 1...x_ n∈ C\) tali che \(C⊆ ⋃_{i=1}^ n B(x_ i,𝜀)\).