EDB — 0V3

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Teorema 101

[0V3] Dato uno spazio metrico \((X,d)\) e un suo sottoinsieme \(C⊆ X\), le tre seguenti condizioni sono equivalenti.

  • \(C\) è sequenzialmente compatto: ogni successione \((x_ n)⊂ C\) possiede una sottosuccessione convergente a un elemento di \(C\).

  • \(C\) è compatto: da ogni famiglia di aperti la cui unione copre \(C\) si può scegliere un numero finito di aperti la cui unione copre \(C\).

  • \(C\) è completo, ed è totalmente limitato: per ogni \(𝜀{\gt}0\) esistono finiti punti \(x_ 1...x_ n∈ C\) tali che \(C⊆ ⋃_{i=1}^ n B(x_ i,𝜀)\).

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Bibliografia
Indice analitico
  • Heine
  • Borel
  • sottosuccessione, convergente
  • sequenzialmente compatto
  • compatto, sequenzialmente
  • compatto
  • totalmente limitato
  • limitato, totalmente
  • spazio metrico
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