EDB — 0VT

Esercizi

1. [0VT] Prerequisiti:[0VS]↺↻.Sia $X=C^0([0,1])$ lo spazio delle funzioni continue e limitate $f:[0,1]\to ℝ$, dotato della usuale distanza

   $$d_{\infty }(f,g)=\Vert f-g{\Vert }_{\infty }=\underset{x\in [0,1]}{sup}|f(x)-g(x)|.$$

   Sappiamo che $(X,d_{\infty })$ è uno spazio metrico completo. Sia

   $$D(0,1)=\{f\in X:d_{\infty }(0,f)\le 1\}=\{f\in X:\forall x\in [0,1],|f(x)|\le 1\}$$

   il disco di centro $0$ (la funzione identicamente zero) e raggio 1. Sappiamo da [0PY]↺↻ che è chiuso, e dunque è completo. Mostrate che $D$ non è totalmente limitato, trovando una successione $(f_n)\subseteq D$ come spiegato in [0VS]↺↻.