Esercizi
[0Y7]Tramite questa bigezione trasportiamo la distanza Euclidea da \(S^ 1\) a \(ℝ/2𝜋\) definendo
\[ d_ e([s],[t])=|Φ([s])-Φ([t])|_{ℝ^ 2} ~ ~ . \]Con questa scelta la mappa \(Φ\) risulta essere un isometria fra \((S^ 1,d)\) e \((ℝ/2𝜋,d_ e)\) (si riveda la definizione [0TK]). Dunque quest’ultimo è uno spazio metrico completo.
Con qualche semplice calcolo si ricava che
\[ d_ e([s],[t])= \sqrt{ |\cos (t)-\cos (s)|^ 2 + |\sin (t)-\sin (s)|^ 2}= \sqrt{ 2 - 2 \cos (t-s)} ~ ~ . \]Poi definiamo la funzione
\[ d_ a([s],[t]) = \inf \{ |s-t-2𝜋 k| : k∈ℤ\} ~ ~ , \]mostrate che è una distanza su \(ℝ/2𝜋\).
Soluzione 1