EDB — 10M

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E19

[10M] Siano dati \(p,q∈[1,∞]\) tali che \(1/p + 1/q = 1\)  1 e \(x,y∈ℝ^ n\); si mostri la disuguaglianza di Hölder in questa forma

\begin{equation} ∑_{i=1}^ n|x_ i y_ i| ≤ \| x\| _ p \| y\| _ q\quad .\label{eq:dis_ Holder_ val_ ass} \end{equation}
20

In quali casi si ha uguaglianza?

Suggerimenti: assumete \(x_ i,y_ i≥ 0\); per i casi con \(p,q{\lt}∞\) potete:

  • usare la disuguaglianza di Young ([194] o [1V7]);

  • usare i moltiplicatori di Lagrange;

  • partire dal caso \(n=2\) e porre \(x_ 2=t x_ 1\) e \(y_ 2=a y_ 1\); per i casi \(n≥ 3\) usare induzione.

Soluzione 1

[10N]

  1. Si intende che se \(p=1\) allora \(q=∞\) ; e viceversa.
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Authors: "Mennucci , Andrea C. G." .
Bibliography
Book index
  • spazio vettoriale, normato
  • disuguaglianza di Young
  • disuguaglianza di Hölder
  • moltiplicatore di Lagrange
  • \( \Vert \cdot \Vert _p\) , in \( ℝ ^n\)
  • \( \Vert \cdot \Vert _\infty \) , in \( ℝ ^n\)
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