EDB — 13D

[13D]Sia \(f:X→ ℝ\); le seguenti asserzioni sono equivalenti:

1. \(f\) è semicontinua inferiormente,

2. per ogni \(t\), si ha che il sottolivello

   \[ S_ t = \{ x∈ X, f(x)≤ t \} \]

   è chiuso,

3. l’epigrafico

   \[ E = \{ (x,t)∈ X×ℝ, f(x)≤ t \} \]

   è chiuso in \(X× ℝ\).

Si noti che la seconda condizione comporta che \(f\) è continua da \((X,𝜏)\) in \(ℝ,𝜏_+\) dove \(𝜏_+=\{ (a,∞):a∈ℝ\} ∪\{ ∅,ℝ\} \) è l’insieme delle semirette, che è una topologia (facile verifica).

Si formuli poi l’equivalente teorema per le funzioni semicontinue superiormente.