EDB — 13D

[13D]Sia $f:X\to ℝ$; le seguenti asserzioni sono equivalenti:

1. $f$ è semicontinua inferiormente,

2. per ogni $t$, si ha che il sottolivello

   $$S_t=\{x\in X,f(x)\le t\}$$

   è chiuso,

3. l’epigrafico

   $$E=\{(x,t)\in X\times ℝ,f(x)\le t\}$$

   è chiuso in $X\times ℝ$.

Si noti che la seconda condizione comporta che $f$ è continua da $(X,𝜏)$ in $ℝ,{𝜏}_{+}$ dove ${𝜏}_{+}=\{(a,\infty ):a\in ℝ\}\cup \{\varnothing ,ℝ\}$ è l’insieme delle semirette, che è una topologia (facile verifica).

Si formuli poi l’equivalente teorema per le funzioni semicontinue superiormente.