EDB — 192

[192] Sia \(f:[0,∞)→ℝ\) concava, tale che \(f(0)=0\) e \(f\) continua in zero.

• Si provi che \(f\) è subadditiva, cioè

  \[ f(t)+f(s)≥ f(t+s) \]

  per ogni \(t,s≥ 0\). Se inoltre \(f\) è strettamente concava e \(t{\gt}0\) allora

  \[ f(t)+f(s){\gt} f(t+s)~ . \]

• Si provi che se \(∀ x, f(x)≥ 0\) allora \(f\) è debolmente crescente.

• Il viceversa? Trovate un esempio di \(f:[0,∞)→[0,∞)\) con \(f(0)=0\), continua, monotona crescente e subadditiva, ma non concava.