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[19S] Prerequisiti:[19Q], [1HS].
Sia \(I⊂ ℝ\) un intervallo con estremi \(a,b\); siano \(f,f_ n:I→ℝ\) continue non negative tali che \(f_ n(x)↗_ n f\) puntualmente (cioè per ogni \(x\) e \(n\) si ha \(0≤ f_ n(x) ≤ f_{n+1}(x)\) e \(\lim _ n f_ n(x) =f(x)\)); si mostri allora
\[ \lim _{n→∞} ∫_ a^ b f_ n(x)\, {\mathbb {d}}x=∫_ a^ b f(x)\, {\mathbb {d}}x~ ~ . \](Nota se l’intervallo è aperto o semiaperto o illimitato allora gli integrali di Riemann si intendono in senso generalizzato; in questo caso il membro destro può anche valere \(+∞\)).
Soluzione 1Il precedente risultato prende il nome di Teorema di Convergenza Monotona e vale in ipotesi molto generali; nel caso di integrali di Riemann si può però vedere come conseguenza dei risultati [19Q] e [1HS].
EDB — 19S
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Italiano
Autori:
"Mennucci , Andrea C. G."
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